波利亞教我們怎樣解題-鄭州市第一〇二高級中學(xué)

每個同學(xué)差不多都有過這樣的經(jīng)歷：一道題，自己總也想不出解法，而老師卻給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是“老師是怎么想出這個解法的？”如果這個解法不是很難時，“我自己完全可以想出，但為什么我沒有想到呢？”

　　美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（George Polya,1887~1985）對回答上述問題非常感興趣，他先后寫出了《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》和《數(shù)學(xué)與猜想》。這些書被譯成很多國家的文字出版，成了世界范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)教育名著。對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了深刻的影響。正因為如此，當(dāng)波利亞93歲高齡時，還被國際數(shù)學(xué)教育大會聘為名譽(yù)主席。

　　波利亞1887年出生在匈牙利，青年時期曾在布達(dá)佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲博士學(xué)位。1914年在蘇黎世著名的瑞士聯(lián)邦理工學(xué)院任教。1940年移居美國，1942年起任美國斯坦福大學(xué)教授。他一生發(fā)表達(dá)200多篇論文和許多專著，他在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域內(nèi)有精深的造詣，對實變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、概率論、縱使數(shù)學(xué)、數(shù)論，幾何和微分方程等若干分支領(lǐng)域都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以他的名字命名的術(shù)語和定理。他是法國科學(xué)院、美國全國科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士，不愧為一位杰出的數(shù)學(xué)家。

　　波利亞熱心數(shù)學(xué)教育，十分重視培養(yǎng)學(xué)生思考問題分析問題的能力。他認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是“教會年輕人思考”。教師要努力啟發(fā)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)解法，從而從根本上提高學(xué)生的解題能力。

　　波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張《怎樣解題》表。在這張包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現(xiàn)計劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個求解計劃。”他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和23個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程的“慢動作鏡頭”，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著。

　　波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試指出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方式重新敘述它？......”

　波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時解決問題的過程。實際上是他解決研究問題時的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)教育，特別是研究解題教學(xué)時的優(yōu)勢所在，絕非“紙上談兵”。仔細(xì)想一想，我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到罷了?，F(xiàn)在波利亞把這些問題和建議去尋找解法，這樣，在解題的過程中，也使自己的思維受到良好的訓(xùn)練。久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。而這是比任何具體的數(shù)學(xué)知識重要得多的東西。

　　波利亞的《怎樣解題》被譯成16種文字，僅平裝本就銷售100萬冊以上。著名數(shù)學(xué)家瓦爾登1952年2月2日在瑞士蘇黎世大學(xué)的會議致詞中說：“每個大學(xué)生，每個學(xué)者，特別是每個老師都應(yīng)該讀讀這本引人入勝的書”。我想，波利亞關(guān)于怎樣解題的思想對于廣大中學(xué)生同樣也是非常需要的和有益的。

　　波利亞強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn)，不僅僅是指發(fā)現(xiàn)解法，而且也包括數(shù)學(xué)的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)。他把闡述自己“對解題的理解、研究和講授”的書取名為《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》，我想大概就是這個原因。他在這本書的第二卷中，還專門詳細(xì)介紹了數(shù)學(xué)大師歐拉發(fā)現(xiàn)凸多面體的歐拉公式（頂點數(shù)—棱數(shù)+面數(shù)=2）的全過程，生動地再現(xiàn)了歐拉如何一步一步地進(jìn)行歸納和猜想，最終得到上述公式的。也就是把處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)，照原樣提供給我們。展示教學(xué)家創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)的思維活動過程，自然而生動地顯示歸納和猜想在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的重要作用，這在教科書和一般的數(shù)學(xué)著作中是極少見到的，而這對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)卻是非常重要的。波利亞要求我們不僅要學(xué)習(xí)證明，而且要學(xué)習(xí)猜想。也就是不僅要培養(yǎng)和提高解題能力，而且要學(xué)習(xí)和培養(yǎng)創(chuàng)新能力。

參考資料

　　1.波利亞著《怎樣解題》（閻育蘇譯）。北京：科學(xué)出版社，1982年。

　　2.波利亞著《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》第一卷，歐陽絳譯，北京：科學(xué)出版社，1982年。第二卷，劉遠(yuǎn)圖等譯，北京：科學(xué)出版社，1987年。

　　3.波利亞著《數(shù)學(xué)與猜想》（第一卷，李心燦等譯，第二卷，李克堯等譯）北京：科學(xué)出版社1984年。